La derivada de una función nos indica la monotonía de la misma, es decir, los intervalos donde la función crece y decrece y estos intervalos determinan los máximos y mínimos locales de la función.

  • Cuando, para un intervalo de X, f'(x)>0 la función es creciente en ese intervalo
  • Cuando, para un intervalo de X, f'(x)<0 la función es decreciente en dicho intervalo.
  • Cuando f'(x)=0, la función puede tener en X un máximo o un mínimo local, la determinación de si es un máximo, mínimo o ninguna de las dos cosas, vendrá dada por la monotonía.

En la práctica se trata de derivar la función, igualarla a 0 y comprobar el signo de la derivada a ambos lados de los puntos que hayamos obtenido. Si existen asíntotas verticales deberá mirarse también el signo de la derivada a ambos lados de las asíntotas.

Ejemplo 1:




Derivamos e igualamos a 0 la derivada:


Este último valor de la X es un candidato a ser máximo o mínimo local. A continuación estudiamos el signo de la derivada a ambos lados de x=-2, dando un par de valores a y'
f ' (-3)= - (derivada negativa)
f ' (0)= + (derivada positiva)

Por lo tanto la función es decreciente antes del -2 (derivada negativa) y creciente después (derivada positiva), por lo que en x=-2 hay un mínimo local. Gráficamente se puede representar así:
monotonia.gif
Sustituimos X= -2 en f(x) para hallar las coordenadas del punto:



Para finalizar diremos que la función es creciente en el intervalo:


decreciente en el intervalo:


y que tiene un mínimo en el punto:


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